足球比赛中的点球：规则、战术与技巧全解析

说到足球比赛，人们想到的大概就是激情四射的身体对抗、高超的脚法。当我们抛开一切复杂的战术和比赛流程，只讨论最基本的得分规则——进球时，就不得不提点球。

有奖问答：点球进了吗？

点球，全称是自由球，是指一方因犯规十种之一而在本方禁区内获得直接任意球，此时执行点球。

点球大战是一场90分钟的常规比赛和30分钟的加时赛，两队依次射门决出胜负。点球时，球放在距离球门线12码（约11米）的点球点上，守方守门员面对主罚队员。在球被踢出之前，守门员只能沿球门线左右移动，不能前后移动，直到球被踢出。

点球是守门员和主罚球员的一对一较量，进门就算进球，没进就不算进球，这是很简单的规则，但背后却有复杂的博弈论。

本文作者在学习了一门名为《博弈论》的课程后，决定做点事情自娱自乐。于是在学习了一些用博弈论探讨点球问题的文章后，结合自己的想法，着重从博弈论的角度阐述点球的公平性和策略选择。这是一篇简短的期末论文，恰巧本届世界杯的点球次数比较多，我自己统计了一些数据并纳入文章中，也提交给了新起点，分享给大家，供大家参考。

需要说明的是，本文的观点并非点球大战的权威解释，本文仅供娱乐，需要进一步研究的朋友可以去图书馆查阅。

公平

很多人觉得点球不公平，靠运气。直观来看，球门尺寸长7.32米，高2.44米，门将需要守护的区域相当大。对于职业足球运动员来说，从脚触球到球到球到达球门只需要0.3秒，也就是说门将只能预测球的走向，如果预测错误，几乎不可能扑出点球。

在仅考虑左中右三个进攻方向的简单概率模型中，射手有三分之二的得分机会，而守门员只有三分之一的机会。从数据上看，以参加2018年世界杯决赛圈的球员为例，参考英国JD公布的数据，葡萄牙球星C罗的点球成功率为84%，阿根廷的梅西为77%，法国的吉鲁则高达94%。而守门员方面，澳大利亚门将马修·瑞安扑救点球的成功率为37%，德国队长诺伊尔为35%，西班牙的德赫亚为27%。这一切似乎都表明，在点球大战中，获得点球的一方更具优势。

尽管如此，我依然认为点球是公平的。首先，点球弥补了对方在禁区内因为犯规而失去的进攻机会。其次，当我们仅仅用博弈论的思路来看待点球过程时，我们会惊奇地发现，点球比赛会回归到一个（0.5，0.5）的胜率选择，此时门将和射手双方都有50%的进球率。

我们来看看这个游戏的流程。

首先，我们需要构建点球的收益矩阵。这里我们假设点球手（用 ST 表示，尽管点球手可能是后卫）除了遵循最基本的规则：左、中、右之外，只能选择三个方向（以点球手的视角）。守门员（用 GK 表示）熟悉点球手的习惯用脚，他只能提前预测，并且只能跳到他预测的一侧。点球方向只有三个（以点球手的视角）：左、中、右。当球未被踢出时，他站在球门线中间。

在这个模型中，游戏规则设定为：进球即罚点球球员得分，球没进即守门员得分。考虑罚点球球员的习惯脚，球没进门框的情况，以右脚球员为例，假设他射门的自然侧（即习惯侧）是左侧，如果没有守门员，且守门员没有向右方向跳起，他从左中路射门成功进球的几率为80%，而从右侧射门的成功率只有50%。如果守门员向右方向跳起，成功概率会降低30%-40%，具体情况会在收益矩阵的补充说明中详细说明。

收益矩阵如下所示：

这个矩阵中，坐标的第一个数字代表ST进球的概率，坐标的第二个数字代表GK进球的概率。特别需要注意（M，M）=（0.4，0.6）的情况，这意味着当主罚球员射向中路，守门员也选择防守中路时，主罚球员罚进的概率是0.4，不进球（包括被守门员扑出和打高）的概率是0.6。这里守门员也是在防守的右侧方向，但进球的概率是0.4，比（L，L）中的0.5要低，因为前提假设守门员在球没被踢出时的位置是在球门线的中间，所以防守中路比冲向左侧要简单，也就是罚进的概率相对要小一些。

按照这个矩阵，对于GK来说，不管ST怎么选择，他的最优选择和ST是一样的，也就是说，他的决策是基于ST的决策的，有些被动，不存在占优策略。再看ST，当GK选择L时，ST的最优选择是M；当GK选择M时，ST的最优选择是L；当GK选择R时，ST的最优选择是L和M。可以看出，L和M对于ST来说都是不错的选择。

现在我们来计算一下ST在GK防守的三种情况下的得分总和：

当ST选择L时，总得分概率为2.1，当ST选择M时，总得分概率为2.0，当ST选择R时，总得分概率为1.2。也就是说，ST选择L时得分概率最高，M次之，R最低。综上，ST倾向于选择L。（此分析方法非常简单粗暴，请勿用于研究，本文仅供娱乐）

GK的目标是阻截ST的进球，他没有显性策略，他会猜测ST的选择。显然ST会倾向于选择L，因此L也会成为GK最倾向的选择。据统计，罗纳尔多在曼联时期的点球有85%会选择射向自然侧，而曼联门将范德萨也有自己的特殊偏好，专门向射手的自然侧扑救（他的点球轶事，见2008年欧冠决赛曼联点球战胜切尔西的比赛）。我在采访校队几位门将时，无一例外都表示自己主罚点球时最有可能选择向射手的自然侧扑救。

ST选择L，GK选择L，对于双方来说，进球的概率都只有50%，此时双方并没有明显的优势，这也证明了点球的公平性。

这也解释了为什么足球比赛引入点球决胜，在120分钟的僵持中决出胜负。因为这是最纯粹的方式。类似的做法还包括在歌唱比赛中设立清唱环节，在诗歌比赛中设立“飞花”环节等等。

在解释点球公平性的同时，我们来看看这个支付矩阵中其他可能的组合，并进行解释。根据大数据统计，我们发现，在点球中，主罚球员选择将球射向两边的概率是98%，选择射向中间的概率只有2%。

我们先来看ST选择L和R的情况，守门员预测和点球球员方向不一致的情况有(L,M)、(L,R)、(R,L)、(R,M)。2018世界杯小组赛西班牙对阵葡萄牙首轮比赛中，C罗右脚主罚点球时选择了正确的方向，而德赫亚则是向左侧扑救，这就是典型的(R,L)情况。守门员预测正确的方向有两个，一个是上面已经分析过的(L,L)08年欧冠决赛点球，一个是(R,R)。(R,R)表示点球球员选择从不自然的一侧射门，守门员猜对了方向。看阿根廷和冰岛的比赛，习惯用左脚的梅西用左脚将球踢向左侧，皮球被冰岛门将哈尔多松扑出，梅西选择的角度并不刁钻。 哈尔多松在赛后接受采访时表示，自己研究梅西很久了。

我们来看ST选择M的情况。同样，门将在预测时通常会选择向两边移动，因此点球手向中间射门从概率论上来说是一个不错的选择。但是，点球大战中大多数射手不会做出这样的选择。这可能是心理因素造成的，这里就不做过多讨论了。

当然，这部分的讨论是基于强假设的，其定义和结果的稳定性还有待进一步完善，纯属娱乐。

策略选择

在点球公平性这个话题中，我们只是讨论了每种情况下的进球率，然后得出了点球手和守门员最有可能的选择。但在实际比赛中，我们可以看到每种情况都有发生。让我们重建一个模型，并使用混合策略方法分析 GK 和 ST 的选择。

守门员和罚球者被定义为理性的，他们会选择使对方收益最小的策略。这个模型和上一个模型最大的区别就是守门员和罚球者只有左边和右边两个选择。为了方便计算，更形象的描述罚球情况，收益矩阵的表达方式也发生了变化。我们依然研究罚球者是右脚球员的情况，这次我们假设当ST和GK都选择左边时，ST的收益为50，GK的收益为-50。同理，另外三种情况如下图所示。

假设点球手选择从左侧点球的概率为 p，则选择右侧点球的概率为 (1-p)。如果守门员选择从左侧防守，则点球手的预期回报为

当守门员选择右路防守时，罚点球球员的预期收益为

下图展示了不同p选择对点球球员的预期收益。

罚球手知道对手的目标是最小化自己的预期收益，所以罚球手预期获得的收益是两种策略下较小的收益08年欧冠决赛点球，图中用红色表示。最小收益的最大值出现在E点，E点满足的条件是

因此，E = (0.625, 57.5)。也就是说，当罚点球者向左踢的概率为 0.625，而守门员做出相应反应时，他的预期回报为 57.5。

接下来我们用同样的方法研究守门员的情况，设守门员向左侧扑救的概率为q，则向右侧扑救的概率为（1-q）。当主罚球员选择从左侧主罚点球时，主罚球员的收益为：

当罚点球球员选择从右侧主罚点球时，罚点球球员的利益是：

对于守门员来说，他知道罚点球的球员会选择两种策略中最好的一种，他的目标是让对手的利益最小化。同样，我们可以得到点E’。经过简单的计算，我们可以得到

这里我们计算出了守门员和罚球手的均衡策略。罚球手有 0.625 的概率向左踢，守门员有 0.75 的概率向左扑救。此时，无论对方采取什么行动，都获得相等的收益。也就是说，当守门员有 0.75 的概率向左扑救时，罚球手向左踢和向右踢，收益都是一样的，可以选择这两种策略的任意混合策略。特别地，他可以选择 0.625 的概率向左踢。这个选择就是博弈中的纳什均衡。给定对方的选择，大家的选择都是最优的。

混合策略可能不适用于一场比赛的单个点球，但常规时间和加时赛后的点球大战是需要混合策略的地方。这也是为什么一支球队派出的点球队员在射门时，一般不会只面向一个方向。像C罗、梅西这样的大牌球星，在职业生涯中面对多次点球时，也会使用混合策略来主罚点球，而不是总是选择一个方向。

2018 年国际足联世界杯

自世界杯开始以来，我一直在对每一个点球进行统计。

截止本届世界杯四分之一决赛，除去点球大战的时间08年欧冠决赛点球，比赛一共罚进了26个点球。26个点球中，有21次射进，5次射失。主罚球员全部使用惯用脚射门，但其中16次射向了非自然侧，打破了自然侧的平衡。这是因为世界杯比赛更加符合单场模式，射手往往会选择非自然侧来欺骗门将。但有意思的是，5次射失的点球中有4次是因为射向了非自然侧，降低了成功率。26次点球中，门将有17次选择跳到自然侧。

英格兰队的哈里·凯恩主罚三次点球，全部命中。小组赛对阵巴拿马时，他连续两次主罚都命中左上角。1/4决赛对阵哥伦比亚时，凯恩的点球射到了不自然的一侧——右侧，哥伦比亚门将奥斯皮纳扑出点球时却冲到了左侧。显然奥斯皮纳赛前研究过凯恩的习惯，凯恩也很聪明，第三次主罚没有选择自然的一侧。

西班牙与俄罗斯的1/8决赛中，平局导致双方进入点球大战。个人认为西班牙在点球大战中失利的主要原因是他们遵循了包括门将德赫亚和主罚手在内的自然边线平衡，并没有使用混合策略。俄罗斯门将阿金费耶夫发现了西班牙的顽劣，在第一个主罚在左侧被扑出（伊涅斯塔打中路）和第二个主罚在右侧被扑出（皮克打左路）后，他选择在第一个主罚在左侧（伊涅斯塔打中路）和第二个主罚在右侧（皮克打左路）扑出之后，扑出了科克和阿斯帕斯的主罚，帮助俄罗斯赢得了比赛。

在克罗地亚与俄罗斯的点球大战中，拉基蒂奇是克罗地亚派出的第五名主罚球员，他成功罚入点球，帮助球队挺进四强。当时解说员说道：拉基蒂奇不愧是当今世界足坛最优秀的中场球员……作为巴萨球迷，听到这样的称赞心里非常开心，但大数据统计显示，前锋和后卫的成功率要高于中场，原因大概就是前锋是职业射手，后卫果断，中场“犹豫不决”。

其他不属于研究范围的有趣现象包括：C罗在面对伊朗门将贝兰万德时，右脚射门射偏右侧点球，个人认为贝兰万德有提前进攻的嫌疑，如果真是这样，那贝兰万德的防守区域其实是扩大了；1999年女足世界杯决赛，中国队在点球大战中败给美国队，当时美国队门将一开始并没有老老实实站在球门线上，而是在球门线前一步，理论上是犯规；韩国队本届世界杯的旅程并不愉快，前两场小组赛都被自家后卫送出点球，韩国队与墨西哥队的比赛，墨西哥获得点球机会，主罚球员贝拉站在点球点上，等了几分钟悠闲喝水的“美女博主”，韩国队门将赵显祐终于回到了自己的位置。 他站在球门中央，却抬起左手，两次试图将球踢向球员的右侧。要知道贝拉是左脚球员，右脚是他的天性。随后贝拉将球踢向右侧，赵贤宇从左侧扑上来，将点球踢进。

其他

目前学术界对于点球比赛已经做了非常细致的研究，有的文章将球门分成九个区域进行分析，还用五大联赛的数据来验证结论。从博弈论的角度看，点球并不是一个常规操作，因为即便控制了球员和守门员的实力，运气、心态等一些难以量化的因素也会影响点球结果。因此，除了从博弈论的角度进行研究外，更多的文章从球员的身体动作来分析点球的成功率，或者给守门员一些建议。我的想法是，或许可以用量化的方法来找出影响点球结果最重要的因素，然后再进行研究。

综上所述

对于足球比赛中的点球大战，从点球手和守门员的9种方向选择组合来看，双方最终都会倾向于自然边线方向，此时双方的胜率都只有0.5，因此点球大战是非常公平的。从策略选择的角度，应用混合策略方法，我们可以得出点球手和守门员选择策略时的纳什均衡点。

综上所述，我们可以得出结论：博弈论和足球确实很有趣。

主要参考

微观经济学：现代视角

《足球比赛中门将与射门员之间的对抗对进球率的影响》 张慕倩 山东师范大学

守门员点球防守直觉预测的眼动及ERP特征研究 赵福勋，山东体育学院

《世界杯决赛圈点球模式分析》科技情报，2008年第28期，吴冰冰

《第20届世界杯足球赛点球判罚分析与研究》当代体育科技2016年第5期张超群、詹玲玲

世界杯半决赛赛程

7月11日 02:00

法国

对比

比利时

7月12日 02:00

克罗地亚

对比

英格兰

半决赛还会出现点球吗？让我们拭目以待吧！

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